Dãy số này
xuất hiện ở muôn nơi: trong tự nhiên và cũng như từ các sản phẩm nhân tạo, từ
vũ trụ cho tới bài nhạc cổ điển.
Số Phi
((Φ,φ) ), số Fibonacci, tỷ lệ vàng là những khái niệm rất nổi tiếng và quen
thuộc, đã được các nhà toán học nghiên cứu xuyên suốt lịch sử, từ thời điểm đầu
tiên khi nó xuất hiện. Đó là một dãy vô hạn các số tự nhiên bắt đầu bằng hai
phần tử 0 và 1 hoặc 1 và 1, các phần tử sau đó được thiết lập theo quy tắc mỗi
phần tử luôn bằng tổng hai phần tử trước nó.
Thậm chí,
trái với định kiến toán học là khô khan, khái niệm số Fibonacci xuất hiện trong
vô vàn lĩnh vực khác như nghệ thuật, sinh học, kiến trúc, âm nhạc, thực vật học
và thậm chí, cả tài chính. Rất có thể, bạn đã tiếp xúc với số Fibonacci đâu đó
trong sự nghiệp học tập và nghiên cứu rồi. Liệu bản chất của nó có đi kèm với ý
nghĩa rằng: Ta có thể tìm ra được một bản dịch thuật được viết bằng số của mọi
thứ ta nhìn thấy, ta nghe được – vạn vật xung quanh ta không?
Có lẽ câu
trả lời gần với câu hỏi này nhất là câu nói của triết gia vĩ đại Plato, “Chúa
trời vận dụng hình học không ngừng nghỉ - God geometrizes continiually”. Rất
xin lỗi nếu như khả năng hạn hẹp của tôi không thể dịch ra được một câu hay
hơn.
Plato
Giờ hãy
nhìn sâu hơn vào hiện tượng toán học thu hút hàng ngàn trí thức gia và học giả
từ mọi ngành, mọi kỷ nguyên kể từ lần đầu tiên nó được phát hiện ra: vậy đó là
tỷ lệ vàng hay là sự cân xứng thần thánh?. Trước khi bắt đầu chuyến hành trình
này, ta hãy lật lại câu chuyện về nhà toán học người Ý Leornardo Bigollo
(Leonardo Pisano hay “người tới từ Pisa”), ông Fibonacci.
Đường xoắn
ốc Fibonacci
Số Phi được
gọi là Phi là bởi nó được đặt theo tên nhà điêu khắc nổi tiếng người Hy Lạp
Phidias (sống tại thế kỷ thứ 5 Trước Công nguyên). Ông là người kiến tạo nên
những công trình kiến trúc nổi tiếng, trong đó có đền Parthenon tại Athens.
Teho như tác giả Mario Livio viết trong cuốn sách Tỷ lệ Vàng: Câu chuyện về
Phi, Con số Kì diệu nhất Thế giới, rất nhiều nhà sử học tin rằng Phidias đã áp
dụng thành công tỷ lệ vàng vào trong những tác phẩm của mình.
Phidias
Đó là lý do
vì sao nhà toán học Mark Barr quyết định vinh danh Phidias bằng cách đặt tên
biểu tượng Φ là Phi. Vì thế, Phi chẳng phải là khám phá được tìm ra bởi
Fibonacci (nó cũng đã từng được nghiên cứu và định nghĩa bởi Euclid rồi) và cái
tên Phi cũng chẳng mang chút “hương vị nước Ý” nào cả (vị spaghetti chăng?).
Dù vậy, ta
vẫn cần phải tìm hiểu thêm khám phá của Fibonacci để có thể hiểu hơn về tiềm
năng cân đối tuyệt vời của số Phi và những con số phát sinh từ nó. Sự thành
công của Fibonacci và con số tỷ lệ vàng là hai mặt của cùng một đồng xu.
Dãy số
Fibonacci được khám phá ra bởi “nhà toán học tới từ Pisa"– dãy
0;1;1;2;3;5;8;13 ... – thuộc lĩnh vực số học, ngành nghiên cứu các con số và
những biến đổi cơ bản có thể thực hiện được với những con số ấy. Tỷ lệ vàng,
được biểu diễn bằng cái tên Phi (có biểu tượng là Φ, φ) đến từ một thành công
trong ngành số học, biểu diễn mối quan hệ của hai yếu tố có trên một đoạn
thẳng. Đúng vật, Phi có một cấu trúc hình học được biểu thị như hình dưới đây:
Chúng ta sử
dụng đại số học để tìm ra giá trị số của Phi (Φ), chúng ta sử dụng công thức
đơn giản là Φ=a/b. Ta áp dụng công thức này lên biểu diễn hình học của hình ảnh
trên, khi lấy tổng chiều dài đoạn thẳng (a+b) chia cho đoạn dài hơn (a), ta
cũng ra được cùng kết qua khi lấy đoạn dài hơn (a) chia cho đoạn ngắn hơn (b).
Tổng kết lại, ta có Phi (Φ) = (a+b)/a = a/b.
Kết quả của
đẳng thức này là 1,6180339887..., cùng giá trị với tỷ lệ vàng được định nghĩa
bởi nhà toán học Euclid, dưới lời mô tả của Mario Livio là “một con số vô tận
và không lặp lại”.
Đáng tò mò
thay, con số này lại rất giống với kết quả khi chia bất kì con số liên tiếp nào
trong dãy Fibonacci cho nhau (ví dụ 5/3=1,666; 13/8=1,625). Kết hợp hai yếu tố
này lại, ta đã thành công trong việc sử dụng hình học để biểu thị một phạm trù
số học.
Đây là điểm
làm cho bài viết này thú vị, chẳng cần tới một nhà toán học để có thể hiểu và
thấy được cái đẹp của đại số. Hơn nữa, ta lại hiểu thêm được tính chất số học
cơ bản nằm trong khám phá của nhà toán học đại tài tới từ Pisa: đường xoắn ốc
Fibonnaci nổi tiếng.
Là điểm cân
bằng của tự nhiên, là khoa học của những con số hay chỉ là một sự trùng hợp?
Các đặc
tính của số Phi làm chúng ta vô cùng ngạc nhiên, và việc phát hiện ra nó dưới
dạng tỷ lệ vàng đã cho ta một lối đi để phân tích những hình thái, những vật
thể, những biểu thị hình học và thậm chí là những chuyển động trong tự nhiên
vẫn diễn ra trong thế giới này. Nó lại đưa ra tới một câu nói đã được nêu ra
đâu đó trong bài viết này: tỷ lệ vàng hay là sự cân xứng thần thánh.
Trong những
hình ảnh trên, ta thấy đường xoắn ốc Fibonacci, hình chữ nhật với tỷ lệ vàng
nhưng ngoài ra, nó cũng có thể dùng để xác định tam giác tỷ lệ vàng hay hình
ngũ giác. Nhưng chúng đều có một điểm chung: chúng đều có “yếu tố vàng” ở trong
mình.
Hình ngũ
giác với tỷ lệ vàng.
Mấy con số
tỷ lệ vàng này là ta tự tạo ra, liệu môi trường xung quanh ta có “vàng” thế hay
“thần thánh” thế không? Những công trình kiến trúc có tỉ lệ vàng là do con
người tự làm nên, Mẹ Thiên nhiên có áp dụng công thức ấy trong việc kiến tạo
không?
Câu trả lời
là có. Ta có thể thấy tỷ lệ vàng trong Kim tự tháp Giza tại Ai Cập, trong logo
của Google, hay trong những cánh hoa hồng và thậm chí, trong hình dáng của các
ngân hà. Trong tác phẩm La Gioconda – tên gọi khác của bức Mona Lisa vẽ nên bởi
Leonardo da Vinci, trong cấu trúc hiển vi của một số tinh thể, và thậm chí (lần
2), có cả trong bản nhạc Dialogue du vent et la mer của nhà soạn nhạc Claude
Debussy – dãy số Fibonacci xuất hiện 50 bar nhạc, có thể được chia ra thành
những đoạn dài 21, 8, 8, 5, và 13 bar.
Tỷ lệ vàng
của bức La Gioconda
Tỷ lệ vàng
của ngân hà.
Sự xuất hiện của dãy số, của tỷ lệ vàng kì diệu này ở muôn nơi. Vậy ta gọi nó là con số thú vị nhất thế giới đã đủ xứng đáng chưa? Liệu dựa vào con số này, ta có thể thay đổi được thực tại để làm những điều không tưởng, tạo ra một thế giới không còn toán học không? Nhưng không nghi ngờ gì, những sự thật này cho ta thấy rằng toán học khiến ta cảm thấy những thứ dường như không liên quan gì tới nhau lại có một điểm chung kì lạ: một dãy số níu giữ chúng lại.